次の曲線と直線で囲まれた部分の面積を求める問題です。 (1) $x = y^2 + 1$, $x$軸, $y$軸, $y = 2$ (2) $x = y^2 - 1$, $x = y + 5$

1. 問題の内容

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積を求める問題です。

(1) $x = y^2 + 1$, $x$軸, $y$軸, $y = 2$

(2) $x = y^2 - 1$, $x = y + 5$

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $x = y^2 + 1$ と、$x$軸 (つまり $y = 0$), $y$軸 (つまり $x = 0$), $y = 2$ で囲まれた部分の面積を求める。

まず、$y$について積分する範囲を決定する。$y = 0$から$y = 2$までである。

次に、面積を計算するための定積分を設定する。$x = y^2 + 1$は常に正である。$x = 0$（$y$軸）と$x = y^2 + 1$の間の面積を、$y = 0$から$y = 2$まで積分する。

$S = \int_{0}^{2} (y^2 + 1) dy$

$S = [\frac{1}{3}y^3 + y]_0^2 = (\frac{8}{3} + 2) - (0 + 0) = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}$

(2) 曲線 $x = y^2 - 1$ と直線 $x = y + 5$ で囲まれた部分の面積を求める。

まず、交点を求めるために、$y^2 - 1 = y + 5$を解く。

$y^2 - y - 6 = 0$

$(y - 3)(y + 2) = 0$

$y = 3, -2$

したがって、交点は $y = -2$ と $y = 3$ である。

面積を計算するための定積分を設定する。$x = y + 5$ と $x = y^2 - 1$の間の面積を、$y = -2$ から $y = 3$ まで積分する。

$S = \int_{-2}^{3} [(y + 5) - (y^2 - 1)] dy$

$S = \int_{-2}^{3} (-y^2 + y + 6) dy = [-\frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{2}y^2 + 6y]_{-2}^3$

$S = (-\frac{1}{3}(27) + \frac{1}{2}(9) + 6(3)) - (-\frac{1}{3}(-8) + \frac{1}{2}(4) + 6(-2)) = (-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12) = (9 + \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - 10) = 9 + \frac{9}{2} - \frac{8}{3} + 10 = 19 + \frac{27 - 16}{6} = 19 + \frac{11}{6} = \frac{114 + 11}{6} = \frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14}{3}$

(2) $\frac{125}{6}$