媒介変数表示された曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ $(0 \le \theta \le \pi)$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ $(0 \le \theta \le \pi)$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸との交点を求めます。$y=0$ となるのは $\theta = 0, \pi$ のときです。

$x$ の変化を考慮すると、$\theta$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$x$ は $3$ から $-3$ まで変化します。したがって、面積は以下の定積分で表されます。

$S = \int_{-3}^{3} |y| dx$

媒介変数表示を用いて積分を計算するために、$dx = \frac{dx}{d\theta} d\theta$ を求めます。

$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin\theta$

したがって、$dx = -3\sin\theta d\theta$ です。

$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ であり、$x$ が $3$ から $-3$ に変化するときに対応します。

積分の範囲は $\theta = \pi$ から $\theta = 0$ に変わります。

$y = 2\sin\theta$ なので、面積 $S$ は以下の積分で計算できます。

$S = \int_{\pi}^{0} 2\sin\theta \cdot (-3\sin\theta) d\theta = \int_{\pi}^{0} -6\sin^2\theta d\theta = 6 \int_{0}^{\pi} \sin^2\theta d\theta$

ここで、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$S = 6 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = 3 \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$S = 3 \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\pi} = 3 \left[ (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0)) \right] = 3 (\pi - 0 - 0 + 0) = 3\pi$

3. 最終的な答え

$3\pi$