定積分 $\int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta$ を計算します。解答例では、不定積分が $\frac{8}{3} \left[ \frac{\sin^4\theta}{4} \right]$ となり、定積分の値が0になると示されています。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta$ を計算します。解答例では、不定積分が $\frac{8}{3} \left[ \frac{\sin^4\theta}{4} \right]$ となり、定積分の値が0になると示されています。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、置換積分を用いることができます。

$u = \sin \theta$ と置くと、$du = \cos \theta \, d\theta$ となります。

$\theta$ が0から$\pi$まで変化するとき、$u$は$\sin 0 = 0$から$\sin \pi = 0$まで変化します。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^\pi \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = \int_0^0 u^3 \, du = 0$

別の方法として、まず不定積分を計算し、その後で積分範囲を適用することができます。

$\int \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 \theta}{4} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_0^\pi \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = \left[ \frac{\sin^4 \theta}{4} \right]_0^\pi = \frac{\sin^4 \pi}{4} - \frac{\sin^4 0}{4} = \frac{0}{4} - \frac{0}{4} = 0$

解答例では、$\frac{8}{3}$という係数が出てきていますが、これは誤りです。正しい不定積分は $\frac{\sin^4 \theta}{4} + C$ です。したがって、与えられた解答例は途中の計算が間違っていますが、最終的な答えは正しいです。

3. 最終的な答え

$\int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta = 0$