与えられた微分方程式 $y \frac{dy}{dx} = x$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y \frac{dy}{dx} = x$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離形であるため、以下のように解く。

ステップ1: 変数を分離する。

$y \, dy = x \, dx$

ステップ2: 両辺を積分する。

$\int y \, dy = \int x \, dx$

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C_1$ (ここで $C_1$ は積分定数)

ステップ3: 式を整理する。

両辺に2をかける。

$y^2 = x^2 + 2C_1$

$y^2 = x^2 + C$ (ここで $C = 2C_1$ は新しい積分定数)

ステップ4: yについて解く。

$y = \pm \sqrt{x^2 + C}$

3. 最終的な答え

$y = \pm \sqrt{x^2 + C}$