与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} = y$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} = y$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は、変数分離形なので、以下のように解く。

まず、与えられた式を変形する。

$x \frac{dy}{dx} = y$

両辺を $y$ で割る。（ただし、$y \neq 0$）

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

両辺を $x$ で積分する。

$\int \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{x} dx$

$\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{x} dx$

$\ln |y| = \ln |x| + C$ （$C$ は積分定数）

$\ln |y| = \ln |x| + \ln K$ （$C = \ln K$ と置換、$K > 0$）

$\ln |y| = \ln |Kx|$

$|y| = |Kx|$

$y = Kx$

$y=0$ の場合は、$x \frac{dy}{dx}= x\cdot 0= 0=y$ となり、$y=0$ は解である。

$y = Kx$ に $K=0$ を代入すると、$y=0$ となる。

したがって、$y= Kx$ が一般解である。

3. 最終的な答え

$y = Kx$ ($K$ は任意定数)