以下の6つの積分を計算してください。 (1) $\int (x+3)^7 dx$ (2) $\int \frac{(x+1)^2}{x^2} dx$ (3) $\int (3x+4)^5 dx$ (4) $\int \sin 2x dx$ (5) $\int a^x dx$ (6) $\int \tan^2 x dx$

1. 問題の内容

以下の6つの積分を計算してください。

(1) $\int (x+3)^7 dx$

(2) $\int \frac{(x+1)^2}{x^2} dx$

(3) $\int (3x+4)^5 dx$

(4) $\int \sin 2x dx$

(5) $\int a^x dx$

(6) $\int \tan^2 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (x+3)^7 dx$

$u = x+3$ と置換すると、$du = dx$。

$\int u^7 du = \frac{1}{8}u^8 + C = \frac{1}{8}(x+3)^8 + C$

(2) $\int \frac{(x+1)^2}{x^2} dx$

$\frac{(x+1)^2}{x^2} = \frac{x^2+2x+1}{x^2} = 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$.

$\int (1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int 1 dx + 2 \int \frac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx = x + 2\ln|x| - \frac{1}{x} + C$

(3) $\int (3x+4)^5 dx$

$u = 3x+4$ と置換すると、$du = 3 dx$, $dx = \frac{1}{3} du$.

$\int u^5 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^5 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} u^6 + C = \frac{1}{18} (3x+4)^6 + C$

(4) $\int \sin 2x dx$

$u = 2x$ と置換すると、$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$.

$\int \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

(5) $\int a^x dx$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

(6) $\int \tan^2 x dx$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

$\int (\sec^2 x - 1) dx = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx = \tan x - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}(x+3)^8 + C$

(2) $x + 2\ln|x| - \frac{1}{x} + C$

(3) $\frac{1}{18} (3x+4)^6 + C$

(4) $-\frac{1}{2} \cos 2x + C$

(5) $\frac{a^x}{\ln a} + C$

(6) $\tan x - x + C$