次の不定積分を計算してください。 $\int x \sqrt{2+x} dx$

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を計算してください。

$\int x \sqrt{2+x} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

* $t = 2 + x$ と置換すると、$x = t - 2$ となります。

* また、$dt = dx$ となります。

* 与式は以下のように書き換えられます。

$\int (t-2) \sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} - 2t^{1/2}) dt$

* 積分を実行します。

$\int t^{3/2} dt = \frac{2}{5}t^{5/2} + C_1$

$\int 2t^{1/2} dt = 2 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C_2 = \frac{4}{3} t^{3/2} + C_2$

* したがって、

$\int (t^{3/2} - 2t^{1/2}) dt = \frac{2}{5}t^{5/2} - \frac{4}{3} t^{3/2} + C$

* $t = 2 + x$ を代入して、$x$ の式に戻します。

$\frac{2}{5}(2+x)^{5/2} - \frac{4}{3}(2+x)^{3/2} + C$

* $(2+x)^{3/2}$ でくくります。

$(2+x)^{3/2} \left( \frac{2}{5}(2+x) - \frac{4}{3} \right) + C$

* 括弧の中を計算します。

$(2+x)^{3/2} \left( \frac{6(2+x) - 20}{15} \right) + C$

$(2+x)^{3/2} \left( \frac{12+6x - 20}{15} \right) + C$

$(2+x)^{3/2} \left( \frac{6x - 8}{15} \right) + C$

$\frac{2}{15}(3x-4)(2+x)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}(3x-4)(2+x)^{3/2} + C$

## (3) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を計算してください。

$\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

* $t = x + 1$ と置換すると、$x = t - 1$ となります。

* また、$dt = dx$ となります。

* 与式は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{3(t-1)-1}{\sqrt{t}} dt = \int \frac{3t-4}{\sqrt{t}} dt$

* 式を整理します。

$\int (3t^{1/2} - 4t^{-1/2}) dt$

* 積分を実行します。

$\int 3t^{1/2} dt = 3 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C_1 = 2t^{3/2} + C_1$

$\int 4t^{-1/2} dt = 4 \cdot 2 t^{1/2} + C_2 = 8t^{1/2} + C_2$

* したがって、

$\int (3t^{1/2} - 4t^{-1/2}) dt = 2t^{3/2} - 8t^{1/2} + C$

* $t = x + 1$ を代入して、$x$ の式に戻します。

$2(x+1)^{3/2} - 8(x+1)^{1/2} + C$

* $2(x+1)^{1/2}$ でくくります。

$2(x+1)^{1/2} [ (x+1) - 4 ] + C$

$2(x+1)^{1/2} (x-3) + C$

3. 最終的な答え

$2(x-3)\sqrt{x+1} + C$