与えられた関数 $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を描く問題です。定義域、漸近線、極値、増減、凹凸、変曲点などの情報を求めてグラフを描きます。

## 問題 2: $y = \frac{x^2-3}{x-2}$ のグラフの概形を描く

1. **問題の内容**

与えられた関数 $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を描く問題です。定義域、漸近線、極値、増減、凹凸、変曲点などの情報を求めてグラフを描きます。

2. **解き方の手順**

(1) **定義域**

分母が $0$ にならないように、$x - 2 \neq 0$ より、$x \neq 2$ である。したがって、定義域は $x \neq 2$ のすべての実数。

(2) **漸近線**

* **垂直漸近線**: $x = 2$ で分母が $0$ となるので、垂直漸近線は $x = 2$。

* **斜め漸近線**: 分子の次数が分母の次数より 1 だけ大きいので、斜め漸近線が存在する。長除法を行うと、

$x^2 - 3 = (x - 2)(x + 2) + 1$

したがって、

$\frac{x^2 - 3}{x - 2} = x + 2 + \frac{1}{x - 2}$

よって、斜め漸近線は $y = x + 2$。

(3) **導関数**

* 第一導関数 $y'$ を求める:

$y' = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 - 3)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}$

* 第二導関数 $y''$ を求める:

$y'' = \frac{(2x - 4)(x - 2)^2 - (x^2 - 4x + 3)(2(x - 2))}{(x - 2)^4} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - 2(x^2 - 4x + 3)}{(x - 2)^3} = \frac{2(x - 2)^2 - 2(x^2 - 4x + 3)}{(x - 2)^3} = \frac{2(x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 - 4x + 3)}{(x - 2)^3} = \frac{2}{(x - 2)^3}$

(4) **増減と極値**

$y' = 0$ となる $x$ は $x = 1, 3$。

$x < 1$ のとき $y' > 0$ (増加)。

$1 < x < 2$ のとき $y' < 0$ (減少)。

$2 < x < 3$ のとき $y' < 0$ (減少)。

$x > 3$ のとき $y' > 0$ (増加)。

したがって、$x = 1$ で極大値 $y = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2$、$x = 3$ で極小値 $y = \frac{9 - 3}{3 - 2} = 6$ をとる。

(5) **凹凸と変曲点**

$y'' = \frac{2}{(x - 2)^3}$。$y'' = 0$ となる $x$ は存在しない。

$x < 2$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)。

$x > 2$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)。

変曲点は存在しない。$x = 2$ は定義域に含まれていないため。

(6) **特別な点**

$x = 0$ のとき $y = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1.5$。

(7) **グラフの概形**

以上の情報を基にグラフを描く。

* 垂直漸近線: $x = 2$

* 斜め漸近線: $y = x + 2$

* 極大点: $(1, 2)$

* 極小点: $(3, 6)$

* $y$切片: $(0, 1.5)$

* $x < 2$ で上に凸、$x > 2$ で下に凸

3. **最終的な答え**

グラフの概形: 上記の情報をもとにグラフを描く。垂直漸近線 $x=2$ を境界として、$x<2$ で上に凸、$x>2$で下に凸。極大点$(1,2)$、極小点$(3,6)$をとり、斜め漸近線$y=x+2$に近づく。