定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta$ を計算する問題です。与えられた解答では、$\sin^4 \theta / 4$ を原始関数として計算が進められています。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta$ を計算する問題です。与えられた解答では、$\sin^4 \theta / 4$ を原始関数として計算が進められています。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta$ を計算します。

$t = \sin \theta$ と置換すると、$dt = \cos \theta \, d\theta$ となり、積分は $\int t^3 \, dt$ となります。

これを計算すると、$\frac{t^4}{4} + C = \frac{\sin^4 \theta}{4} + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = \left[ \frac{\sin^4 \theta}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin^4 \pi}{4} - \frac{\sin^4 0}{4}$ となります。

$\sin \pi = 0$ かつ $\sin 0 = 0$ であるので、$\frac{\sin^4 \pi}{4} - \frac{\sin^4 0}{4} = \frac{0}{4} - \frac{0}{4} = 0$ となります。

与えられた解答では、$\frac{8}{3}$ という係数が掛けられていますが、これは誤りです。正しくは係数は１です。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta \, d\theta = 0$