与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x$ を解く。

2. 解き方の手順

これは1階線形微分方程式なので、以下の手順で解く。

ステップ1：標準形であることを確認する。

与えられた式はすでに標準形 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ の形になっている。ここで、$P(x) = -2x$、$Q(x) = 2x$ である。

ステップ2：積分因子 $\mu(x)$ を求める。

積分因子は $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$ で与えられる。

この場合、$P(x) = -2x$ なので、

$\int P(x) dx = \int -2x dx = -x^2$。

したがって、積分因子は

$\mu(x) = e^{-x^2}$。

ステップ3：微分方程式の両辺に積分因子を掛ける。

$\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x)$

$e^{-x^2} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^2} y = 2x e^{-x^2}$

ステップ4：左辺を $\frac{d}{dx}(\mu(x) y)$ の形に変形する。

$\frac{d}{dx}(e^{-x^2} y) = 2x e^{-x^2}$

ステップ5：両辺を積分する。

$\int \frac{d}{dx}(e^{-x^2} y) dx = \int 2x e^{-x^2} dx$

$e^{-x^2} y = \int 2x e^{-x^2} dx$

右辺の積分を計算するために、置換積分を行う。$u = -x^2$ とすると、$du = -2x dx$ より $-du = 2x dx$ となる。

$\int 2x e^{-x^2} dx = \int e^u (-du) = - \int e^u du = -e^u + C = -e^{-x^2} + C$

したがって、

$e^{-x^2} y = -e^{-x^2} + C$

ステップ6：$y$ について解く。

両辺を $e^{-x^2}$ で割ると、

$y = -1 + C e^{x^2}$

3. 最終的な答え

$y = -1 + Ce^{x^2}$