$0 \leq x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$ (2) $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

1. 問題の内容

$0 \leq x < 2\pi$ のとき、次の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$

(2) $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $2\cos{2x} + 4\cos{x} - 1 = 0$ を解きます。

$\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1$ を用いて式を変形します。

$2(2\cos^2{x} - 1) + 4\cos{x} - 1 = 0$

$4\cos^2{x} + 4\cos{x} - 3 = 0$

$(\text{Let } t = \cos{x})$

$4t^2 + 4t - 3 = 0$

$(2t - 1)(2t + 3) = 0$

$t = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

$\cos{x} = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$

$-1 \leq \cos{x} \leq 1$ であるため、$\cos{x} = -\frac{3}{2}$ は解なし。

$\cos{x} = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、 $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

(2) 不等式 $\cos{x} < \sqrt{3}\sin{x}$ を解きます。

両辺を $\cos{x}$ で割りたいところですが、$\cos{x}$ の符号によって不等号の向きが変わるので注意が必要です。

まず、両辺を2で割って

$\frac{1}{2}\cos{x} < \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}$

$\cos{(\frac{\pi}{3})}\cos{x} < \sin{(\frac{\pi}{3})}\sin{x}$

$0 < \cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}} - \sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}}$

$0 < \cos{(x + \frac{\pi}{3})}$

$\cos{(x + \frac{\pi}{3})} > 0$

$x + \frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$\cos{t} > 0$

$0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \leq t < \frac{7\pi}{3}$

$\cos{t} > 0$ となる $t$ の範囲は、 $\frac{\pi}{3} \leq t < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < t < \frac{5\pi}{2}$ , $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{7\pi}{3}$

$t = x + \frac{\pi}{3}$ より、

$\frac{\pi}{3} \leq x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$ より、 $0 \leq x < \frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{2} < x + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{2}$ より、 $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6} < x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $0 \leq x < \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < x < 2\pi$