与えられた3つの関数について、マクローリン級数を求めます。 (1) $f(x) = x \sin x \cos x$ (2) $f(x) = \frac{x^2}{5-x}$ (3) $f(x) = (1-x)e^{2x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、マクローリン級数を求めます。

(1) $f(x) = x \sin x \cos x$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{5-x}$

(3) $f(x) = (1-x)e^{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x \sin x \cos x$ の場合

まず、$2 \sin x \cos x = \sin 2x$ を利用して、$f(x) = \frac{1}{2} x \sin 2x$ と変形します。

$\sin x$ のマクローリン展開は

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

であるため、$\sin 2x$ のマクローリン展開は

$$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

となります。よって、$x \sin 2x$ のマクローリン展開は

$$x \sin 2x = 2x^2 - \frac{2^3 x^4}{3!} + \frac{2^5 x^6}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n+1} x^{2n+2}}{(2n+1)!}$$

したがって、$f(x) = \frac{1}{2} x \sin 2x$ のマクローリン展開は

$$f(x) = x^2 - \frac{2^2 x^4}{3!} + \frac{2^4 x^6}{5!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n+2}}{(2n+1)!}$$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{5-x}$ の場合

まず、$\frac{1}{5-x}$ を次のように変形します。

$$\frac{1}{5-x} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{5}} = \frac{1}{5} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{5}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{5^{n+1}}$$

これは、$|\frac{x}{5}| < 1$ つまり $|x| < 5$ で収束する等比級数です。

したがって、$f(x) = \frac{x^2}{5-x}$ のマクローリン展開は

$$f(x) = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{5^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{5^{n+1}}$$

(3) $f(x) = (1-x)e^{2x}$ の場合

$e^{2x}$ のマクローリン展開は

$$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$$

であるため、

$$f(x) = (1-x) e^{2x} = (1-x) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^{n+1}}{n!}$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^n}{(n-1)!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1} x^n}{(n-1)!}$$

$$= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^n}{n!} - \frac{2^{n-1}}{(n-1)!} \right) x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - n 2^{n-1}}{n!} x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2-n) 2^{n-1}}{n!} x^n$$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n+2}}{(2n+1)!}$

(2) $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{5^{n+1}}$

(3) $f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2-n) 2^{n-1}}{n!} x^n$