与えられた関数について、指定された次数のマクローリン展開を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ の第n次マクローリン展開 (2) $f(x) = \sqrt{4-x}$ の第2次マクローリン展開 (3) $f(x) = \arctan x$ の第3次マクローリン展開 (4) $f(x) = \frac{x}{e^{3x}}$ の第3次マクローリン展開

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された次数のマクローリン展開を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ の第n次マクローリン展開

(2) $f(x) = \sqrt{4-x}$ の第2次マクローリン展開

(3) $f(x) = \arctan x$ の第3次マクローリン展開

(4) $f(x) = \frac{x}{e^{3x}}$ の第3次マクローリン展開

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$

ここで $R_n(x)$ は剰余項です。

(1) $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ の第n次マクローリン展開

$f(x) = (x+1)^{-2}$

$f'(x) = -2(x+1)^{-3}$

$f''(x) = 6(x+1)^{-4}$

$f'''(x) = -24(x+1)^{-5}$

...

$f^{(n)}(x) = (-1)^n (n+1)! (x+1)^{-(n+2)}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = -2$

$f''(0) = 6$

$f'''(0) = -24$

$f^{(n)}(0) = (-1)^n (n+1)!$

マクローリン展開は

$1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots + (-1)^n (n+1)x^n + R_n(x)$

(2) $f(x) = \sqrt{4-x}$ の第2次マクローリン展開

$f(x) = (4-x)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(4-x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(4-x)^{-\frac{3}{2}}$

$f(0) = 2$

$f'(0) = -\frac{1}{4}$

$f''(0) = -\frac{1}{32}$

マクローリン展開は

$2 - \frac{1}{4}x - \frac{1}{64}x^2 + R_2(x)$

(3) $f(x) = \arctan x$ の第3次マクローリン展開

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f''(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$f'''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 - (-2x)2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = 0$

$f'''(0) = -2$

マクローリン展開は

$x - \frac{1}{3}x^3 + R_3(x)$

(4) $f(x) = \frac{x}{e^{3x}}$ の第3次マクローリン展開

$f(x) = xe^{-3x}$

$f'(x) = e^{-3x} - 3xe^{-3x} = (1-3x)e^{-3x}$

$f''(x) = -3e^{-3x} - 3(1-3x)e^{-3x} = (-6+9x)e^{-3x}$

$f'''(x) = 9e^{-3x} + (-6+9x)(-3)e^{-3x} = (27-27x)e^{-3x}$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -6$

$f'''(0) = 27$

マクローリン展開は

$x - 3x^2 + \frac{9}{2}x^3 + R_3(x)$

3. 最終的な答え

(1) $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots + (-1)^n (n+1)x^n + R_n(x)$

(2) $2 - \frac{1}{4}x - \frac{1}{64}x^2 + R_2(x)$

(3) $x - \frac{1}{3}x^3 + R_3(x)$

(4) $x - 3x^2 + \frac{9}{2}x^3 + R_3(x)$