与えられた極限を求めます。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \left( \frac{k \pi}{6n} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求めます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \left( \frac{k \pi}{6n} \right)$$

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形をしているため、定積分に変換して計算します。

まず、$\frac{k}{n} = x$ とおくと、$\frac{1}{n} = dx$ となります。

$k$ が $1$ から $n$ まで変化するとき、$x$ は $\frac{1}{n}$ から $1$ まで変化します。

$n \to \infty$ のとき、$x$ は $0$ から $1$ まで変化します。

したがって、与えられた極限は以下の定積分で表されます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \left( \frac{k \pi}{6n} \right) = \pi \int_{0}^{1} \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} x \right) dx$$

次に、$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ の公式を用いて、被積分関数を変形します。

$$\pi \int_{0}^{1} \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} x \right) dx = \pi \int_{0}^{1} \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{3} x \right)}{2} dx$$

$$= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \left[ 1 + \cos \left( \frac{\pi}{3} x \right) \right] dx$$

$$= \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{3}{\pi} \sin \left( \frac{\pi}{3} x \right) \right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{\pi}{2} \left[ \left( 1 + \frac{3}{\pi} \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \right) - \left( 0 + \frac{3}{\pi} \sin \left( 0 \right) \right) \right]$$

$$= \frac{\pi}{2} \left[ 1 + \frac{3}{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right]$$

$$= \frac{\pi}{2} \left[ 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \right]$$

$$= \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$$