$\int \sin^4 x dx$ と $\int \cos^4 x dx$ を求める問題です。ただし、例題3.15の漸化式を利用せずに解きます。

1. 問題の内容

$\int \sin^4 x dx$ と $\int \cos^4 x dx$ を求める問題です。ただし、例題3.15の漸化式を利用せずに解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^4 x dx$ を計算する。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を利用する。

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

さらに、$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ を利用する。

$\sin^4 x = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} (\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2} \cos 4x)$

$\sin^4 x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

したがって、

$\int \sin^4 x dx = \int (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x) dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

(2) $\int \cos^4 x dx$ を計算する。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を利用する。

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (\frac{1 + \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$

さらに、$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ を利用する。

$\cos^4 x = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4} (\frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{1}{2} \cos 4x)$

$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

したがって、

$\int \cos^4 x dx = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x) dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^4 x dx = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$

$\int \cos^4 x dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C$