与えられた定積分 $\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x \log x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x \log x}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分の範囲も変換します。

$x = e$ のとき、$u = \log e = 1$

$x = e^2$ のとき、$u = \log e^2 = 2$

したがって、積分は

$\int_{1}^{2} \frac{du}{u}$

となります。

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$ であるため、

$\int_{1}^{2} \frac{du}{u} = [\log |u|]_{1}^{2} = \log 2 - \log 1 = \log 2 - 0 = \log 2$

となります。

3. 最終的な答え

$\log 2$