定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(x-1)(x+1)$ をかけると、

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x = -1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}$

積分を計算します。

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln |x-1| - \ln |x+1| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} \right)$

$= \frac{1}{2} \ln \frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$