$(1/3)^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$(1/3)^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

求める位を $n$ とする。

$(1/3)^{30}$ を小数で表したとき、小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れるということは、

$10^{-(n-1)} > (1/3)^{30} \ge 10^{-n}$ が成り立つということである。

ここで、常用対数をとると、

$-n+1 > 30\log_{10}(1/3) \ge -n$

$-n+1 > 30(\log_{10}1 - \log_{10}3) \ge -n$

$-n+1 > -30\log_{10}3 \ge -n$

与えられた $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると

$-n+1 > -30 \times 0.4771 \ge -n$

$-n+1 > -14.313 \ge -n$

$n-1 < 14.313 \le n$

よって、$n$ は $14.313$ 以上の最小の整数となるので、$n=15$ となる。

3. 最終的な答え

小数第15位