$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{k^2 + 3kn + 2n^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{k^2 + 3kn + 2n^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$k^2 + 3kn + 2n^2$ を因数分解すると、$(k+n)(k+2n)$ となります。

したがって、

$\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{k^2 + 3kn + 2n^2} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{(k+n)(k+2n)}$

となります。

ここで、$\frac{n}{(k+n)(k+2n)}$ を部分分数分解すると、

$\frac{n}{(k+n)(k+2n)} = \frac{1}{k+n} - \frac{1}{k+2n}$

となります。

よって、

$\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{(k+n)(k+2n)} = \sum_{k=n+1}^{2n} (\frac{1}{k+n} - \frac{1}{k+2n})$

この和を書き下すと、

$(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{3n+1}) + (\frac{1}{2n+2} - \frac{1}{3n+2}) + \dots + (\frac{1}{3n} - \frac{1}{4n})$

となります。

これを整理すると、

$\sum_{k=n+1}^{2n} (\frac{1}{k+n} - \frac{1}{k+2n}) = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k+n} - \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k+2n}$

$= (\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} + \dots + \frac{1}{3n}) - (\frac{1}{3n+1} + \frac{1}{3n+2} + \dots + \frac{1}{4n})$

$= \sum_{k=2n+1}^{3n} \frac{1}{k} - \sum_{k=3n+1}^{4n} \frac{1}{k}$

$= \sum_{k=2n+1}^{4n} \frac{1}{k} - 2\sum_{k=3n+1}^{4n} \frac{1}{k}$

$= \sum_{k=2n+1}^{3n} \frac{1}{k} - \sum_{k=3n+1}^{4n} \frac{1}{k}$

ここで、区分求積法を用います。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{n}{(k+n)(k+2n)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} (\frac{1}{k+n} - \frac{1}{k+2n}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} (\frac{1}{k+n} - \frac{1}{k+2n})$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} (\frac{1}{k+n} - \frac{1}{k+2n}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+2n} - \frac{1}{k+3n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2+k/n} - \frac{1}{3+k/n})\frac{1}{n} = \int_{0}^{1} \frac{1}{2+x} - \frac{1}{3+x} dx = [log(2+x)-log(3+x)]_{0}^{1} = log(\frac{3}{4}) - log(\frac{2}{3}) = log(\frac{9}{8})$.

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=2n+1}^{3n} \frac{1}{k} - \sum_{k=3n+1}^{4n} \frac{1}{k}= \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n+k} - \frac{1}{3n+k} = \int_{0}^{1} \frac{1}{2+x} - \frac{1}{3+x} dx = [log(2+x) - log(3+x)]_{0}^{1} = log(3)-log(4) - (log(2)-log(3)) = log(3/4)-log(2/3) = log(9/8)$

3. 最終的な答え

$\log \frac{9}{8}$