曲線 $y = 4x^3 + 1$ 上の点 $(-1, -3)$ における接線を $l$ とする。 (1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 曲線 $y = 4x^3 + 1$ と接線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = 4x^3 + 1$ 上の点 $(-1, -3)$ における接線を $l$ とする。

(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $y = 4x^3 + 1$ と接線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

曲線 $y = 4x^3 + 1$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 12x^2$

点 $(-1, -3)$ における接線の傾きは、

$12(-1)^2 = 12$

よって、接線 $l$ の方程式は、

$y - (-3) = 12(x - (-1))$

$y + 3 = 12(x + 1)$

$y + 3 = 12x + 12$

$y = 12x + 9$

(2) 曲線 $y = 4x^3 + 1$ と接線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$4x^3 + 1 = 12x + 9$

$4x^3 - 12x - 8 = 0$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

$(x + 1)^2(x - 2) = 0$

$x = -1, 2$

交点は $(-1, -3)$ と $(2, 33)$ である。

面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^2 (12x + 9 - (4x^3 + 1)) dx$

$S = \int_{-1}^2 (-4x^3 + 12x + 8) dx$

$S = [-x^4 + 6x^2 + 8x]_{-1}^2$

$S = (-16 + 24 + 16) - (-1 + 6 - 8)$

$S = 24 - (-3)$

$S = 27$

3. 最終的な答え

(1) 接線 $l$ の方程式：$y = 12x + 9$

(2) 面積 $S$: $27$