与えられた極限を計算します。具体的には、次の極限を求めます。 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \frac{n}{n^2 + 3^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。具体的には、次の極限を求めます。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2 + 1^2} + \frac{n}{n^2 + 2^2} + \frac{n}{n^2 + 3^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)$

2. 解き方の手順

与えられた式を、和の記号 $\Sigma$ を用いて書き換えます。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$

次に、$\frac{1}{n}$ を括り出すように変形します。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 (1 + (k/n)^2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + (k/n)^2}$

これは、リーマン和の形をしています。$f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ とすると、

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + (k/n)^2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx$

ここで、$\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C$ であるから、

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

したがって、与えられた極限の値は $\frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\displaystyle \frac{\pi}{4}$