$y = \sin x$ の曲線と $x$ 軸で囲まれた部分について、以下の範囲で面積を求める問題です。 (1) $x = [0, \pi]$ (2) $x = [0, 2\pi]$

1. 問題の内容

$y = \sin x$ の曲線と $x$ 軸で囲まれた部分について、以下の範囲で面積を求める問題です。

(1) $x = [0, \pi]$

(2) $x = [0, 2\pi]$

2. 解き方の手順

(1) $x$ が $[0, \pi]$ の範囲では $\sin x$ は常に非負なので、面積は定積分 $\int_0^\pi \sin x \, dx$ で求められます。

$\int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(2) $x$ が $[0, 2\pi]$ の範囲では、$\sin x$ は正と負の両方の値を取ります。面積を求めるためには、$\sin x$ の絶対値の積分を計算する必要があります。

$| \sin x |$ は $0 \le x \le \pi$ で $\sin x$、$\pi \le x \le 2\pi$ で $-\sin x$ となります。したがって、積分は次のように分割されます。

$\int_0^{2\pi} |\sin x| \, dx = \int_0^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \, dx$

$\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1+1 = 2$

$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \, dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos 2\pi - \cos \pi = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

したがって、全体の面積は $2 + 2 = 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 4