次の式を簡単にせよ。 (1) $\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \cos(\theta + \pi) + \cos(\theta + \frac{3}{2}\pi)$ (2) $\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)\sin(3\pi-\theta) - \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)\cos(\pi - \theta)$

はい、承知いたしました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

(1) $\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \cos(\theta + \pi) + \cos(\theta + \frac{3}{2}\pi)$

(2) $\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)\sin(3\pi-\theta) - \sin(\frac{3}{2}\pi + \theta)\cos(\pi - \theta)$

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の加法定理を用いて、それぞれの項を変形します。

$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{2} - \sin\theta \sin\frac{\pi}{2} = -\sin\theta$

$\cos(\theta + \pi) = \cos\theta \cos\pi - \sin\theta \sin\pi = -\cos\theta$

$\cos(\theta + \frac{3}{2}\pi) = \cos\theta \cos\frac{3}{2}\pi - \sin\theta \sin\frac{3}{2}\pi = \sin\theta$

したがって、与式は

$\cos\theta - \sin\theta - \cos\theta + \sin\theta = 0$

(2)

$\cos(\frac{\pi}{2}+\theta) = \cos\frac{\pi}{2}\cos\theta - \sin\frac{\pi}{2}\sin\theta = -\sin\theta$

$\sin(3\pi-\theta) = \sin(3\pi)\cos\theta - \cos(3\pi)\sin\theta = \sin\theta$

$\sin(\frac{3}{2}\pi + \theta) = \sin\frac{3}{2}\pi\cos\theta + \cos\frac{3}{2}\pi\sin\theta = -\cos\theta$

$\cos(\pi - \theta) = \cos\pi\cos\theta + \sin\pi\sin\theta = -\cos\theta$

したがって、与式は

$(-\sin\theta)(\sin\theta) - (-\cos\theta)(-\cos\theta) = -\sin^2\theta - \cos^2\theta = -(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $0$

(2) $-1$