与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は以下です。 $x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は以下です。

$x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式をベルヌーイ型微分方程式に変形します。

両辺を $x$ で割ると、

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}y^2 \log x$

次に、 $v = y^{-1}$ と置換します。すると、 $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$ となります。

つまり、$\frac{dy}{dx} = -y^2 \frac{dv}{dx}$ です。

これを元の微分方程式に代入すると、

$-y^2 \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}y^2 \log x$

両辺を $-y^2$ で割ると、

$\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x}y^{-1} = -\frac{1}{x} \log x$

$v = y^{-1}$ を代入して、

$\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x}v = -\frac{1}{x} \log x$

これは線形微分方程式です。積分因子 $I(x)$ を求めます。

$I(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log x^{-1}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

両辺に積分因子を掛けます。

$\frac{1}{x}\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x^2}v = -\frac{1}{x^2} \log x$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}v) = -\frac{\log x}{x^2}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}v) dx = \int -\frac{\log x}{x^2} dx$

$\frac{v}{x} = \int -\frac{\log x}{x^2} dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = -\frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{x}$ となります。

$\int -\frac{\log x}{x^2} dx = \frac{\log x}{x} - \int \frac{1}{x^2} dx = \frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} + C$

よって、

$\frac{v}{x} = \frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} + C$

$v = \log x + 1 + Cx$

$v = y^{-1}$ だったので、

$\frac{1}{y} = \log x + 1 + Cx$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{\log x + 1 + Cx}$