関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるか不連続であるかを調べる問題です。 具体的には、以下の3つの関数について検討します。 (1) $f(x) = x[x]$ (2) $f(x) = (x+1)[x]$ (3) $f(x) = \sqrt{x}$ ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を意味します。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるか不連続であるかを調べる問題です。

具体的には、以下の3つの関数について検討します。

(1) $f(x) = x[x]$

(2) $f(x) = (x+1)[x]$

(3) $f(x) = \sqrt{x}$

ここで $[x]$ はガウス記号を表し、$x$ を超えない最大の整数を意味します。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(i) $f(0)$ が定義されている。

(ii) 極限 $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(iii) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

各関数について、これらの条件を満たすかどうかを調べます。

(1) $f(x) = x[x]$

$f(0) = 0 \cdot [0] = 0$

$\lim_{x \to +0} x[x] = \lim_{x \to +0} x \cdot 0 = 0$ ($0 \le x < 1$ のとき $[x] = 0$)

$\lim_{x \to -0} x[x] = \lim_{x \to -0} x \cdot (-1) = 0$ ($-1 \le x < 0$ のとき $[x] = -1$)

よって $\lim_{x \to 0} x[x] = 0$

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ なので、 $f(x)$ は $x = 0$ で連続です。

(2) $f(x) = (x+1)[x]$

$f(0) = (0+1)[0] = 1 \cdot 0 = 0$

$\lim_{x \to +0} (x+1)[x] = \lim_{x \to +0} (x+1) \cdot 0 = 0$ ($0 \le x < 1$ のとき $[x] = 0$)

$\lim_{x \to -0} (x+1)[x] = \lim_{x \to -0} (x+1) \cdot (-1) = -1$ ($-1 \le x < 0$ のとき $[x] = -1$)

$\lim_{x \to +0} f(x) \neq \lim_{x \to -0} f(x)$ なので、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で不連続です。

(3) $f(x) = \sqrt{x}$

$f(0) = \sqrt{0} = 0$

$x \ge 0$ でのみ定義される関数なので、右側極限のみを考えます。

$\lim_{x \to +0} \sqrt{x} = 0$

$\lim_{x \to +0} f(x) = f(0)$ なので、$f(x)$ は $x = 0$ で連続です。

3. 最終的な答え

(1) 連続

(2) 不連続

(3) 連続