関数 $f(x) = |x|$ が $x = 0$ で微分可能でないことを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|$ が $x = 0$ で微分可能でないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

微分可能性を調べるためには、まず微分係数の定義を確認します。関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、極限

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

が存在することです。$x=0$ での微分可能性を調べるので、$a=0$ として上記の極限が存在するかどうかを調べます。

極限を調べるために、右側極限と左側極限をそれぞれ計算します。

* 右側極限（$h \to +0$）:

$\displaystyle \lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h|}{h}$

$h$ が正のとき $|h| = h$ なので、

$\displaystyle \lim_{h \to +0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to +0} 1 = 1$

* 左側極限（$h \to -0$）:

$\displaystyle \lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h|}{h}$

$h$ が負のとき $|h| = -h$ なので、

$\displaystyle \lim_{h \to -0} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to -0} -1 = -1$

右側極限と左側極限が一致しないため、極限 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ は存在しません。したがって、$f(x) = |x|$ は $x = 0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で微分可能ではない。