与えられた数式を計算する問題です。具体的には以下の6つの式を計算します。 (1) $\sqrt{5} (3\sqrt{10}-2\sqrt{5})$ (2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(4\sqrt{2}+5\sqrt{3})$ (3) $(\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-3\sqrt{2})$ (4) $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$ (5) $(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2$ (6) $(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算する問題です。具体的には以下の6つの式を計算します。

(1) $\sqrt{5} (3\sqrt{10}-2\sqrt{5})$

(2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(4\sqrt{2}+5\sqrt{3})$

(3) $(\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-3\sqrt{2})$

(4) $(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$

(5) $(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2$

(6) $(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{5}$ を分配法則で展開します。

$\sqrt{5} (3\sqrt{10}-2\sqrt{5}) = 3\sqrt{5}\sqrt{10} - 2\sqrt{5}\sqrt{5} = 3\sqrt{50} - 2 \times 5 = 3\sqrt{25 \times 2} - 10 = 3 \times 5 \sqrt{2} - 10 = 15\sqrt{2} - 10$

(2)

$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(4\sqrt{2}+5\sqrt{3})$ を展開します。

$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(4\sqrt{2}+5\sqrt{3}) = 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \times 5\sqrt{3} - \sqrt{3} \times 4\sqrt{2} - \sqrt{3} \times 5\sqrt{3} = 8 \times 2 + 10\sqrt{6} - 4\sqrt{6} - 5 \times 3 = 16 + 6\sqrt{6} - 15 = 1 + 6\sqrt{6}$

(3)

$(\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-3\sqrt{2})$ を展開します。

$(\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-3\sqrt{2}) = \sqrt{6} \times 2\sqrt{6} - \sqrt{6} \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 2 \times 6 - 3\sqrt{12} + 4\sqrt{12} - 6 \times 2 = 12 + \sqrt{12} - 12 = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

(4)

$(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$ を展開します。これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

(5)

$(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2$ を展開します。これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形なので、

$(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 4 \times 3 - 12\sqrt{6} + 9 \times 2 = 12 - 12\sqrt{6} + 18 = 30 - 12\sqrt{6}$

(6)

$(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})$ を展開します。

まず $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ と $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ に変形します。

$(2\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-3\sqrt{3}) = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} - 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{5} - \sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 2 \times 5 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \times 3 = 10 - 5\sqrt{15} - 9 = 1 - 5\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $15\sqrt{2} - 10$

(2) $1 + 6\sqrt{6}$

(3) $2\sqrt{3}$

(4) $4$

(5) $30 - 12\sqrt{6}$

(6) $1 - 5\sqrt{15}$