$x = \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ と $y = \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 (i) $x+y$ (ii) $xy$ (iii) $x^2 + y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ と $y = \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

(i) $x+y$

(ii) $xy$

(iii) $x^2 + y^2$

2. 解き方の手順

(i) $x+y$を求める。

$x$と$y$を通分して足し合わせる。

$x+y = \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

$x+y = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2}) + 3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

$x+y = \frac{3\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{5 - 2}$

$x+y = \frac{6\sqrt{5}}{3}$

$x+y = 2\sqrt{5}$

(ii) $xy$を求める。

$x$と$y$を掛け合わせる。

$xy = \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

$xy = \frac{9}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

$xy = \frac{9}{5 - 2}$

$xy = \frac{9}{3}$

$xy = 3$

(iii) $x^2 + y^2$を求める。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$の公式を利用する。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(3)$

$x^2 + y^2 = 4 \cdot 5 - 6$

$x^2 + y^2 = 20 - 6$

$x^2 + y^2 = 14$

3. 最終的な答え

(i) $x+y = 2\sqrt{5}$

(ii) $xy = 3$

(iii) $x^2 + y^2 = 14$