与えられた不等式 $\sqrt{3}x \leq \sqrt{2}(x+1)$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt{3}x \leq \sqrt{2}(x+1)$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を展開します。

$\sqrt{3}x \leq \sqrt{2}x + \sqrt{2}$

次に、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に移動します。

$\sqrt{3}x - \sqrt{2}x \leq \sqrt{2}$

$x$ で括ります。

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})x \leq \sqrt{2}$

両辺を $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ で割ります。$\sqrt{3} > \sqrt{2}$ なので、割る数は正であり、不等号の向きは変わりません。

$x \leq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

分母を有利化します。

$x \leq \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

$x \leq \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2}$

$x \leq \sqrt{6} + 2$

3. 最終的な答え

$x \leq \sqrt{6} + 2$