$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a-b\sqrt{c}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ の形に変形することを目標とします。

$x+y = 9$ かつ $4\sqrt{5} = 2\sqrt{xy}$となるような $x$ と $y$ を探します。

$4\sqrt{5} = 2\sqrt{xy}$ より、 $2\sqrt{5} = \sqrt{xy}$。

両辺を2乗して、$20 = xy$。

$x+y=9$ と $xy=20$ を満たす $x$ と $y$ を求める。

$x, y$ は $t^2 - 9t + 20 = 0$ の解である。

$(t-4)(t-5)=0$ より $t=4, 5$。

よって、$x=5$, $y=4$ とすると、

$\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$

$\sqrt{5}-2 > 0$ なので、$\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}-2$