2次関数 $y=x^2-2x+2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

代数学二次関数最大値最小値平方完成
2025/5/21

1. 問題の内容

2次関数 y=x22x+2y=x^2-2x+2 について、定義域 0x30 \le x \le 3 における最大値と最小値を求め、そのときの xx の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。
y=x22x+2=(x22x+1)+21=(x1)2+1y = x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 2 - 1 = (x-1)^2 + 1
この式から、グラフは下に凸の放物線であり、頂点の座標は (1,1)(1, 1) であることがわかります。
次に、定義域 0x30 \le x \le 3 における最大値と最小値を考えます。
頂点の xx 座標は x=1x=1 であり、定義域内に含まれています。したがって、頂点で最小値をとります。
x=1x = 1 のとき、y=(11)2+1=1y = (1-1)^2 + 1 = 1
次に最大値を考えます。定義域の端の x=0x=0x=3x=3 のときの yy の値を比較します。
x=0x = 0 のとき、y=(01)2+1=1+1=2y = (0-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
x=3x = 3 のとき、y=(31)2+1=22+1=4+1=5y = (3-1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5
したがって、x=3x=3 のときに最大値をとります。

3. 最終的な答え

最大値: 5 (x=3x=3 のとき)
最小値: 1 (x=1x=1 のとき)

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