2次関数 $y=x^2-2x+2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2-2x+2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 2 - 1 = (x-1)^2 + 1$

この式から、グラフは下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, 1)$ であることがわかります。

次に、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x=1$ であり、定義域内に含まれています。したがって、頂点で最小値をとります。

$x = 1$ のとき、$y = (1-1)^2 + 1 = 1$

次に最大値を考えます。定義域の端の $x=0$ と $x=3$ のときの $y$ の値を比較します。

$x = 0$ のとき、$y = (0-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき、$y = (3-1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

したがって、$x=3$ のときに最大値をとります。

3. 最終的な答え

最大値: 5 ($x=3$ のとき)

最小値: 1 ($x=1$ のとき)