三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{2}$が成り立つとき、この三角形の最も小さい角の大きさを$\theta$とするとき、$\cos \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{2}$が成り立つとき、この三角形の最も小さい角の大きさを$\theta$とするとき、$\cos \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$が成り立つ。

よって、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$となる。

与えられた条件式に代入すると、

$\frac{a}{10R} = \frac{b}{8R} = \frac{c}{4R}$となる。

したがって、$a:b:c = 5:4:2$となる。

$a=5k, b=4k, c=2k$ ($k>0$)とおける。

最も小さい角は最も短い辺の対角なので、角Cが最も小さい角$\theta$となる。

余弦定理より、

$\cos \theta = \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (2k)^2}{2(5k)(4k)} = \frac{25k^2 + 16k^2 - 4k^2}{40k^2} = \frac{37k^2}{40k^2} = \frac{37}{40}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{37}{40}$