$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち1つの値が与えられた場合に、他の2つの値を求める問題です。 (1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $\cos \theta = -\frac{1}{4}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち1つの値が与えられた場合に、他の2つの値を求める問題です。

(1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{4}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式を利用します。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \frac{2}{3} > 0$ です。

この範囲において $\cos \theta$ は正の値も負の値も取り得ます。したがって、$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ となります。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{4}$ のとき

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式を利用します。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ となります。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1)

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = -\sqrt{15}$