図は、直径が8cmの半円と、その直径を半径とする扇形から構成されています。図の斜線部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

図は、直径が8cmの半円と、その直径を半径とする扇形から構成されています。図の斜線部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、扇形の面積を計算します。扇形の半径は8cm、中心角は45度なので、扇形の面積は、

$扇形の面積 = \pi \times (半径)^2 \times \frac{中心角}{360}$

$扇形の面積 = \pi \times 8^2 \times \frac{45}{360}$

$扇形の面積 = \pi \times 64 \times \frac{1}{8}$

$扇形の面積 = 8\pi$

次に、半円の面積を計算します。半円の半径は4cmなので、半円の面積は、

$半円の面積 = \frac{1}{2} \times \pi \times (半径)^2$

$半円の面積 = \frac{1}{2} \times \pi \times 4^2$

$半円の面積 = \frac{1}{2} \times \pi \times 16$

$半円の面積 = 8\pi$

斜線部分の面積は、扇形の面積から半円の面積を引くことで求められます。

$斜線部分の面積 = 扇形の面積 - 半円の面積$

$斜線部分の面積 = 8\pi - 8\pi$

$斜線部分の面積 = 0$

しかし、これは正しくありません。問題の図をよく見ると、斜線部分の面積は、扇形から半円を引いたものではなく、扇形と半円の重ならない部分です。扇形と半円が重なっている部分（三角形）を除けば、斜線部分の面積は、扇形から半円を引いたものになります。

扇形の中にできる三角形の面積を考えます。扇形の半径は8cmで、中心角は45度なので、この三角形は直角二等辺三角形になります。よって、その面積は

$\frac{1}{2}\times 8 \times 8 \times sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$ではありません。

斜線部は扇形から半円を引いた部分ですが、図からすると面積は等しくなります。

斜線部の面積は、扇形の面積ー半円の面積で求められます。扇形の半径は8cm、中心角は45度です。半円の半径は4cmです。

$\pi \times 8^2 \times \frac{45}{360} = 8\pi$

$\frac{1}{2} \times \pi \times 4^2 = 8\pi$

斜線部の面積 = $8\pi - 8\pi = 0$

斜線部分の面積は、扇形の面積と半円の面積の差に等しいです。

扇形の面積は $8 \pi$ cm$^2$ であり、半円の面積も $8 \pi$ cm$^2$ であるため、斜線部分の面積は $8 \pi - 8 \pi = 0$ となります。

しかし、これは図を見て明らかにおかしいです。

扇形と半円の重なった部分の面積を求める必要があります。

扇形の中の三角形の面積を求めます。

三角形の面積$= \frac{1}{2} * 8 * 8 * sin(45) = 32 * \frac{\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}$

扇形の面積は$8\pi$

半円の面積は$8\pi$

斜線部分の面積は、扇形の面積と半円の面積が等しいので$8\pi$cm$^2$になります

3. 最終的な答え

$8\pi$ cm$^2$