与えられた複素数平面上の点について、以下の点を表す複素数を求めます。 (1) 2点 $A(-2+5i)$、$B(6-9i)$ を結ぶ線分 $AB$ の中点 (2) 2点 $A(1-i)$、$B(4+3i)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点、外分する点 (3) 3点 $A(-1+4i)$、$B(3+2i)$、$C(4-3i)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心

1. 問題の内容

与えられた複素数平面上の点について、以下の点を表す複素数を求めます。

(1) 2点 $A(-2+5i)$、$B(6-9i)$ を結ぶ線分 $AB$ の中点

(2) 2点 $A(1-i)$、$B(4+3i)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点、外分する点

(3) 3点 $A(-1+4i)$、$B(3+2i)$、$C(4-3i)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ の中点は、2点の複素数の平均で求められます。つまり、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(-2+5i) + (6-9i)}{2}$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

(2) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の複素数は、$\frac{nA+mB}{m+n}$ で求められます。

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の複素数は、$\frac{-nA+mB}{m-n}$ で求められます。

今回は、$m=2$, $n=1$ ですので、内分点と外分点の複素数をそれぞれ計算します。

内分点: $\frac{1 \cdot A + 2 \cdot B}{2+1} = \frac{(1-i) + 2(4+3i)}{3}$

外分点: $\frac{-1 \cdot A + 2 \cdot B}{2-1} = \frac{-(1-i) + 2(4+3i)}{1}$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

(3) $\triangle ABC$ の重心は、3点の複素数の平均で求められます。つまり、

$\frac{A+B+C}{3} = \frac{(-1+4i) + (3+2i) + (4-3i)}{3}$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{(-2+6) + (5-9)i}{2} = \frac{4 - 4i}{2} = 2 - 2i$

(2)

内分点: $\frac{(1-i) + (8+6i)}{3} = \frac{9+5i}{3} = 3 + \frac{5}{3}i$

外分点: $-(1-i) + 2(4+3i) = -1+i + 8+6i = 7 + 7i$

(3)

$\frac{(-1+3+4) + (4+2-3)i}{3} = \frac{6+3i}{3} = 2+i$

よって、

(1) $2 - 2i$

(2) 内分点: $3 + \frac{5}{3}i$、外分点: $7 + 7i$

(3) $2 + i$