xyz空間に3点A(1, 2, 3), B(2, 4, 5), C(3, -6, 1)がある。 (1) 直線ABとxy平面の交点Dの座標を求める。 (2) Cから直線ABに下ろした垂線の足Hの座標を求める。

1. 問題の内容

xyz空間に3点A(1, 2, 3), B(2, 4, 5), C(3, -6, 1)がある。

(1) 直線ABとxy平面の交点Dの座標を求める。

(2) Cから直線ABに下ろした垂線の足Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABとxy平面の交点Dの座標を求める。

直線AB上の点は、実数tを用いて

$\vec{OD} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$

と表せる。

$\vec{OD} = (1-t)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+t \\ 2+2t \\ 3+2t \end{pmatrix}$

点Dはxy平面上にあるので、z座標は0となる。

$3 + 2t = 0$

$t = -\frac{3}{2}$

これを$\vec{OD}$に代入すると

$\vec{OD} = \begin{pmatrix} 1-\frac{3}{2} \\ 2+2(-\frac{3}{2}) \\ 3+2(-\frac{3}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、点Dの座標は$(-\frac{1}{2}, -1, 0)$。

(2) Cから直線ABに下ろした垂線の足Hの座標を求める。

直線AB上の点は、実数sを用いて

$\vec{OH} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OB} = \begin{pmatrix} 1+s \\ 2+2s \\ 3+2s \end{pmatrix}$

と表せる。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = \begin{pmatrix} 1+s-3 \\ 2+2s-(-6) \\ 3+2s-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s-2 \\ 2s+8 \\ 2s+2 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{CH} \perp \vec{AB}$なので、$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$となる。

$\begin{pmatrix} s-2 \\ 2s+8 \\ 2s+2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = (s-2) + 2(2s+8) + 2(2s+2) = s - 2 + 4s + 16 + 4s + 4 = 9s + 18 = 0$

$9s = -18$

$s = -2$

$\vec{OH} = \begin{pmatrix} 1+(-2) \\ 2+2(-2) \\ 3+2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって、点Hの座標は$(-1, -2, -1)$。

3. 最終的な答え

(1) Dの座標: $(-\frac{1}{2}, -1, 0)$

(2) Hの座標: $(-1, -2, -1)$