(1) 一辺の長さが4の正六角形の面積を求めなさい。 (2) 平行四辺形ABCDにおいて、$AB=8$, $BC=6$, $\angle ABC = 135^\circ$のとき、平行四辺形ABCDの面積を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが4の正六角形の面積を求めなさい。

(2) 平行四辺形ABCDにおいて、$AB=8$, $BC=6$, $\angle ABC = 135^\circ$のとき、平行四辺形ABCDの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

正六角形は、一辺の長さが等しい正三角形6個に分割できる。正三角形の面積は、一辺の長さを$a$とすると、$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$で求められる。今回の場合は$a=4$なので、一つの正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$ となる。正六角形は6個の正三角形で構成されるので、正六角形の面積は $6 \times 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ となる。

(2)

平行四辺形の面積は、底辺 × 高さで求められる。底辺は$AB=8$なので、高さ$h$は、頂点$C$から辺$AB$に下ろした垂線の長さとなる。

$\angle ABC = 135^\circ$なので、$\angle CBH = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$となる。(ここで点HはCからABに下ろした垂線の足である。)

$\triangle CBH$は直角三角形であり、$BC=6$なので、$CH = BC \sin 45^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$となる。

したがって、平行四辺形の面積は、$8 \times 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $24\sqrt{3}$

(2) $24\sqrt{2}$