三角形ABCにおいて、$a=5, b=3, c=7$であるとき、角Cの大きさと三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5, b=3, c=7$であるとき、角Cの大きさと三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて角Cを求める。余弦定理は以下の式で表される。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

この式に$a=5, b=3, c=7$を代入すると、

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos{C}$

$49 = 25 + 9 - 30 \cos{C}$

$49 = 34 - 30 \cos{C}$

$15 = -30 \cos{C}$

$\cos{C} = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^{\circ}$

(2) 三角形ABCの面積Sを求める。面積は以下の式で表される。

$S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin{120^{\circ}}$

$\sin{120^{\circ}} = \sin{(180^{\circ} - 60^{\circ})} = \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$C = 120^{\circ}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$