三角形において、$b=2$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=30^\circ$ のとき、辺$a$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形において、$b=2$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=30^\circ$ のとき、辺$a$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して解きます。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$で表されます。

与えられた値を代入して、$a$について解きます。

まず、余弦定理に値を代入します。

$a^2 = 2^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}-1) \cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$a^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3}-1)\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 4 + 4 - 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3})$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3}$

$a^2 = 2$

したがって、$a = \sqrt{2}$ （$a>0$より）

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}$