直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられています。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを求めます。 (2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求めます。 (3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

はい、承知いたしました。それでは、問題7と8を解きます。

**問題7**

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられています。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを求めます。

(2) 点 $P$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求めます。

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルは、直線の式から直接読み取ることができます。一般に、直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $(a, b)$ で表されます。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り、$l$ に直交する直線 $l_1$ の方向ベクトルは、$l$ の法線ベクトル $(1, -2)$ と平行になります。したがって、$l_1$ の方向ベクトルは $(1, -2)$ とできます。

$l_1$ の媒介変数表示は、点 $P(2, -1)$ を通り方向ベクトル $(1, -2)$ を持つことから、

$x = 2 + t$

$y = -1 - 2t$

と表せます。

(3) $l$ と $l_1$ の交点を求めるには、$l_1$ の媒介変数表示を $l$ の方程式に代入します。

$x - 2y + 1 = 0$ に $x = 2 + t$、$y = -1 - 2t$ を代入すると、

$(2 + t) - 2(-1 - 2t) + 1 = 0$

$2 + t + 2 + 4t + 1 = 0$

$5t + 5 = 0$

$t = -1$

$t = -1$ を $l_1$ の媒介変数表示に代入すると、

$x = 2 + (-1) = 1$

$y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

したがって、交点の座標は $(1, 1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の法線ベクトル: $(1, -2)$

(2) 直線 $l_1$ の媒介変数表示: $x = 2 + t$, $y = -1 - 2t$

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標: $(1, 1)$

**問題8**

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (3, 7)$, $\vec{c} = (4, 6)$ が与えられています。

(1) ベクトル $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表します。

(2) ベクトル $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表します。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる実数 $s, t$ を求めます。

$(4, 6) = s(1, 2) + t(3, 7)$

$(4, 6) = (s + 3t, 2s + 7t)$

したがって、

$s + 3t = 4$

$2s + 7t = 6$

この連立方程式を解きます。1つ目の式を2倍すると $2s + 6t = 8$ となり、2つ目の式から引くと、

$(2s + 7t) - (2s + 6t) = 6 - 8$

$t = -2$

$s = 4 - 3t = 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10$

よって、$\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$ となります。

(2) $\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$ となる実数 $u, v$ を求めます。

$(1, 2) = u(3, 7) + v(4, 6)$

$(1, 2) = (3u + 4v, 7u + 6v)$

したがって、

$3u + 4v = 1$

$7u + 6v = 2$

この連立方程式を解きます。1つ目の式を3倍、2つ目の式を2倍すると、

$9u + 12v = 3$

$14u + 12v = 4$

2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$(14u + 12v) - (9u + 12v) = 4 - 3$

$5u = 1$

$u = \frac{1}{5}$

$4v = 1 - 3u = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$v = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

よって、$\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$