直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = 3\sqrt{3}$, $AD = 3\sqrt{5}$, $AE = \sqrt{5}$であるとき、$\cos{\angle AFH}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = 3\sqrt{3}$, $AD = 3\sqrt{5}$, $AE = \sqrt{5}$であるとき、$\cos{\angle AFH}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle AFH$について余弦定理を用いて $\cos{\angle AFH}$を求めます。

余弦定理の公式は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

この式を変形して$\cos{A}$を求めると以下のようになります。

$\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\triangle AFH$について、$AF = b$, $FH = a$, $AH = c$とすると、$\cos{\angle AFH}$は

$\cos{\angle AFH} = \frac{AF^2 + FH^2 - AH^2}{2 \cdot AF \cdot FH}$となります。

$AF$, $FH$, $AH$の長さをそれぞれ求めます。

$AF^2 = AB^2 + BF^2 = (3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 = 27 + 5 = 32$

$AF = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

$FH^2 = FG^2 + GH^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 27 + 45 = 72$

$FH = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

$AH^2 = AD^2 + DH^2 = (3\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 45 + 5 = 50$

$AH = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

よって、$\cos{\angle AFH}$は

$\cos{\angle AFH} = \frac{(4\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{32 + 72 - 50}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{54}{96} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

3. 最終的な答え

$\cos{\angle AFH} = \frac{9}{16}$