3点 $A(0, 2)$, $B(-1, -1)$, $C(3, 0)$ が与えられています。これらの点と、もう1つの点 $D$ を結んで平行四辺形を作るとき、点 $D$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

3点 $A(0, 2)$, $B(-1, -1)$, $C(3, 0)$ が与えられています。これらの点と、もう1つの点 $D$ を結んで平行四辺形を作るとき、点 $D$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

平行四辺形を作る方法は3通りあります。

(1) 四角形 $ABCD$ が平行四辺形の場合

(2) 四角形 $ABDC$ が平行四辺形の場合

(3) 四角形 $ADBC$ が平行四辺形の場合

平行四辺形では、対角線の中点が一致します。

(1) 四角形 $ABCD$ が平行四辺形の場合、線分 $AC$ の中点と線分 $BD$ の中点が一致します。

線分 $AC$ の中点は $\left(\frac{0+3}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right)$

線分 $BD$ の中点は $\left(\frac{-1+x}{2}, \frac{-1+y}{2}\right)$ ($D$ の座標を $(x, y)$ とおく)

$\frac{-1+x}{2} = \frac{3}{2}$ より $x = 4$

$\frac{-1+y}{2} = 1$ より $y = 3$

したがって $D(4, 3)$

(2) 四角形 $ABDC$ が平行四辺形の場合、線分 $AD$ の中点と線分 $BC$ の中点が一致します。

線分 $BC$ の中点は $\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{-1+0}{2}\right) = \left(1, -\frac{1}{2}\right)$

線分 $AD$ の中点は $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$ ($D$ の座標を $(x, y)$ とおく)

$\frac{0+x}{2} = 1$ より $x = 2$

$\frac{2+y}{2} = -\frac{1}{2}$ より $y = -3$

したがって $D(2, -3)$

(3) 四角形 $ADBC$ が平行四辺形の場合、線分 $AB$ の中点と線分 $CD$ の中点が一致します。

線分 $AB$ の中点は $\left(\frac{0-1}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

線分 $CD$ の中点は $\left(\frac{3+x}{2}, \frac{0+y}{2}\right)$ ($D$ の座標を $(x, y)$ とおく)

$\frac{3+x}{2} = -\frac{1}{2}$ より $x = -4$

$\frac{0+y}{2} = \frac{1}{2}$ より $y = 1$

したがって $D(-4, 1)$

3. 最終的な答え

$D(4, 3)$, $D(2, -3)$, $D(-4, 1)$