問題60の(1)、(2)、(3)を解きます。 (1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\sin \theta = \frac{5}{13}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めます。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題60の(1)、(2)、(3)を解きます。

(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\sin \theta = \frac{5}{13}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、$\tan \theta = -4$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めます。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\theta$ は第一象限または第二象限の角です。

$\sin \theta > 0$ なので、$\theta$ は第一象限または第二象限の角です。

第一象限の角の場合、$\cos \theta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ です。

第二象限の角の場合、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$ です。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{12}{13}$ のとき、$\tan \theta = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$

$\cos \theta = -\frac{12}{13}$ のとき、$\tan \theta = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$

(2) $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -4$ より、$\sin \theta = -4 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、 $(-4 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$17 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ で $\tan \theta = -4 < 0$ より、$\theta$ は第二象限の角なので、$\cos \theta < 0$

したがって、$\cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{17}} = - \frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{12}{13}$ のとき $\tan \theta = \frac{5}{12}$ 、$\cos \theta = -\frac{12}{13}$ のとき $\tan \theta = -\frac{5}{12}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$