三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=9$, $\cos \angle BAC = \frac{2}{3}$ である。 (1) $BC$ を求める。 (2) $\sin \angle BAC$ を求める。 (3) 三角形ABCの面積$S$と外接円の半径$R$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=9$, $\cos \angle BAC = \frac{2}{3}$ である。

(1) $BC$ を求める。

(2) $\sin \angle BAC$ を求める。

(3) 三角形ABCの面積$S$と外接円の半径$R$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $BC$ を求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$BC^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{2}{3}$

$BC^2 = 16 + 81 - 48$

$BC^2 = 49$

$BC = 7$

(2) $\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$ より

$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(3) 三角形ABCの面積Sは

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$

$S = 6 \sqrt{5}$

外接円の半径Rは、正弦定理より

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{7 \cdot 3}{2 \sqrt{5}} = \frac{21}{2 \sqrt{5}} = \frac{21 \sqrt{5}}{10}$

3. 最終的な答え

BC = 7

$\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$S = 6 \sqrt{5}$

$R = \frac{21 \sqrt{5}}{10}$