3点O(0, 0), A(a, b), B(c, d)を結んでできる三角形の面積が $S = \frac{1}{2}|ad - bc|$ で与えられている。この式を内積を用いて表す。

1. 問題の内容

3点O(0, 0), A(a, b), B(c, d)を結んでできる三角形の面積が $S = \frac{1}{2}|ad - bc|$ で与えられている。この式を内積を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\vec{OA}$と$\vec{OB}$をそれぞれ $\vec{p} = (a, b)$、$\vec{q} = (c, d)$ とおく。

三角形OABの面積は、これらのベクトルが張る平行四辺形の面積の半分である。平行四辺形の面積は、ベクトルの外積の絶対値に等しい。

$\vec{p}$と$\vec{q}$の外積は、2次元の場合、 $ad - bc$ で与えられる。したがって、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2} |ad - bc|$

となる。

次に、内積を用いてこの式を表すことを考える。内積 $\vec{p} \cdot \vec{q} = ac + bd$ であり、面積の式 $ad - bc$ とは異なる。

ベクトル $\vec{p} = (a, b)$ を90度回転させたベクトルを $\vec{p'}$ とする。$\vec{p'} = (-b, a)$ となる。このとき、$\vec{p'}$ と $\vec{q}$ の内積は

$\vec{p'} \cdot \vec{q} = (-b)c + ad = ad - bc$

となる。したがって、面積は

$S = \frac{1}{2} |\vec{p'} \cdot \vec{q}|$

と表せる。

もう一つの表現として、ベクトル $\vec{q} = (c, d)$ を90度回転させたベクトルを $\vec{q'}$ とする。 $\vec{q'} = (-d, c)$ となる。このとき、$\vec{p}$ と $\vec{q'}$ の内積は

$\vec{p} \cdot \vec{q'} = a(-d) + bc = -ad + bc = -(ad - bc)$

となる。したがって、面積は

$S = \frac{1}{2} |\vec{p} \cdot \vec{q'}|$

と表せる。

3. 最終的な答え

三角形の面積を内積で表した式は以下の通りである。

$S = \frac{1}{2} |(-b, a) \cdot (c, d)| = \frac{1}{2} |(a, b) \cdot (-d, c)|$