直角三角形ABCにおいて、$BC=13$, $AD=6$とする。ただし、$AB > AC$であり、$AD$は頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線である。このとき、以下のものを求めよ。 (1) $BD, CD$の長さ (2) $\cos B$の値

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$BC=13$, $AD=6$とする。ただし、$AB > AC$であり、$AD$は頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線である。このとき、以下のものを求めよ。

(1) $BD, CD$の長さ

(2) $\cos B$の値

2. 解き方の手順

(1) $BD, CD$の長さについて

$BD = x$ とおくと、$CD = 13 - x$ となる。

直角三角形$ABD$と直角三角形$ACD$において、三平方の定理を用いると、

$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 6^2 + x^2 = 36 + x^2$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 6^2 + (13-x)^2 = 36 + (13-x)^2$

三角形$ABC$は直角三角形であるから、$AB^2 + AC^2 = BC^2$が成り立つ。

したがって、

$AB^2 + AC^2 = (36 + x^2) + (36 + (13-x)^2) = 13^2 = 169$

$72 + x^2 + 169 - 26x + x^2 = 169$

$2x^2 - 26x + 72 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

$(x - 4)(x - 9) = 0$

$x = 4, 9$

$AB > AC$より、$BD < CD$が必要なので、$BD = 4$, $CD = 9$となる。

(2) $\cos B$の値について

直角三角形$ABD$において、$\cos B = \frac{BD}{AB}$である。

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

したがって、

$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = 4$, $CD = 9$

(2) $\cos B = \frac{2\sqrt{13}}{13}$