原点 $O(0,0)$、点 $A(a,b)$、点 $B(c,d)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ が $S = \frac{1}{2} |ad - bc|$ で与えられることを、内積を用いて導出する。

1. 問題の内容

原点 $O(0,0)$、点 $A(a,b)$、点 $B(c,d)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ が $S = \frac{1}{2} |ad - bc|$ で与えられることを、内積を用いて導出する。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{OA} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{OB} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ を考える。

三角形 OAB の面積 S は、これらのベクトルが張る平行四辺形の面積の半分である。

平行四辺形の面積は、ベクトルの外積の絶対値に等しい。

2次元ベクトルの外積は、次のように定義される。

$\vec{OA} \times \vec{OB} = ad - bc$

したがって、平行四辺形の面積は $|ad - bc|$ となる。

三角形 OAB の面積 S は、平行四辺形の面積の半分なので、

$S = \frac{1}{2} |ad - bc|$

次に、内積を用いて面積を計算する。

$|\vec{OA}|^2 = a^2 + b^2$

$|\vec{OB}|^2 = c^2 + d^2$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = ac + bd$

三角形 OAB の面積 S は、次の式でも表される。

$S = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin \theta$

ここで、$\theta$ はベクトル $\vec{OA}$ とベクトル $\vec{OB}$ のなす角である。

$\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} = \frac{ac + bd}{\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2}}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{(ac + bd)^2}{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} = \frac{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) - (ac + bd)^2}{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} = \frac{a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 - (a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2)}{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} = \frac{a^2d^2 - 2acbd + b^2c^2}{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} = \frac{(ad - bc)^2}{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$

$\sin \theta = \frac{|ad - bc|}{\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}}$

$S = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2} \frac{|ad - bc|}{\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}} = \frac{1}{2} |ad - bc|$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{2} |ad - bc|$