問題は、2つのベクトルの内積が、それぞれの成分を掛け合わせたものの和で計算されるのはなぜか、という問いです。

1. 問題の内容

問題は、2つのベクトルの内積が、それぞれの成分を掛け合わせたものの和で計算されるのはなぜか、という問いです。

2. 解き方の手順

内積は、幾何学的には2つのベクトルのなす角とベクトルの大きさの関係を表すものです。内積の定義式から、なぜ成分ごとの積の和で計算できるのかを説明します。

2つのベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とし、それぞれの成分を $\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ とします。また、2つのベクトルのなす角を $\theta$ とし、それぞれのベクトルの大きさを $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ とします。

内積の定義は、以下の通りです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

一方、余弦定理を考えると、ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が作る三角形において、$\vec{a} - \vec{b}$ の大きさは、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

と表せます。ここで、内積の定義式を代入すると、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$

となります。これを変形すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2)$

となります。

ここで、ベクトルの大きさの2乗は、各成分の2乗の和で表せることを利用します。

$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2$

$|\vec{b}|^2 = b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + ... + (a_n - b_n)^2$

$= a_1^2 - 2 a_1 b_1 + b_1^2 + a_2^2 - 2 a_2 b_2 + b_2^2 + ... + a_n^2 - 2 a_n b_n + b_n^2$

$= (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) + (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) - 2 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)$

これらを内積の式に代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} [(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) + (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) - ((a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) + (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) - 2 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n))]$

$= \frac{1}{2} [2 (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)]$

$= a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n$

つまり、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n$

となります。

したがって、内積は、各成分の積の和で計算できることが証明されました。

これは、内積の定義と、ベクトルの大きさ、余弦定理を用いることで導き出されます。

3. 最終的な答え

内積は、幾何学的な定義（$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$）から、ベクトルの成分表示を用いて計算すると、成分ごとの積の和で表すことができます。これは、余弦定理とベクトルの大きさの性質から導き出されます。