$a>0, b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点Pをとる。点Pにおける接線と漸近線との2交点を、$y$ 座標の大きい方から順に A, B とするとき、以下の問いに答える。 (1) P$(p, q)$ として、A, B の座標を $a, b, p, q$ で表す。 (2) $\triangle$OAB の面積が点Pの位置によらず一定であることを示す。

1. 問題の内容

$a>0, b>0$ とする。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x>0$ の部分に点Pをとる。点Pにおける接線と漸近線との2交点を、$y$ 座標の大きい方から順に A, B とするとき、以下の問いに答える。

(1) P$(p, q)$ として、A, B の座標を $a, b, p, q$ で表す。

(2) $\triangle$OAB の面積が点Pの位置によらず一定であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 P$(p, q)$ における接線の方程式は、

$\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$

双曲線の漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ である。

まず、$y = \frac{b}{a} x$ との交点を求める。

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} (\frac{b}{a} x) = 1$

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{ab} x = 1$

$\frac{bpx - aqx}{a^2 b} = 1$

$(bp - aq) x = a^2 b$

$x = \frac{a^2 b}{bp - aq}$

$y = \frac{b}{a} x = \frac{b}{a} \frac{a^2 b}{bp - aq} = \frac{ab^2}{bp - aq}$

次に、$y = - \frac{b}{a} x$ との交点を求める。

$\frac{px}{a^2} - \frac{q}{b^2} (-\frac{b}{a} x) = 1$

$\frac{px}{a^2} + \frac{q}{ab} x = 1$

$\frac{bpx + aqx}{a^2 b} = 1$

$(bp + aq) x = a^2 b$

$x = \frac{a^2 b}{bp + aq}$

$y = - \frac{b}{a} x = - \frac{b}{a} \frac{a^2 b}{bp + aq} = - \frac{ab^2}{bp + aq}$

$q > 0$ のとき $\frac{ab^2}{bp - aq} > - \frac{ab^2}{bp + aq}$ なので、

A$(\frac{a^2 b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq})$

B$(\frac{a^2 b}{bp + aq}, - \frac{ab^2}{bp + aq})$

$p, q$ は双曲線上の点なので $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$

$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$

(2)

$\triangle$OAB の面積は、

$\frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A|$

$= \frac{1}{2} | \frac{a^2 b}{bp - aq} (- \frac{ab^2}{bp + aq}) - \frac{a^2 b}{bp + aq} \frac{ab^2}{bp - aq} |$

$= \frac{1}{2} | - \frac{a^3 b^3}{(bp - aq)(bp + aq)} - \frac{a^3 b^3}{(bp + aq)(bp - aq)} |$

$= \frac{1}{2} | - \frac{2 a^3 b^3}{b^2 p^2 - a^2 q^2} |$

$= \frac{a^3 b^3}{b^2 p^2 - a^2 q^2} = \frac{a^3 b^3}{a^2 b^2} = ab$

よって、$\triangle$OAB の面積は点Pの位置によらず一定である。

3. 最終的な答え

(1) A$(\frac{a^2 b}{bp - aq}, \frac{ab^2}{bp - aq})$

B$(\frac{a^2 b}{bp + aq}, - \frac{ab^2}{bp + aq})$

(2) $\triangle$OAB の面積は $ab$ であり、点Pの位置によらず一定である。