(1) 中心 $(-2, 1, 2)$、半径 $3$ の球面 $S$ の方程式を求める。 (2) 点 $A(-3, 0, 6)$ を通り、ベクトル $\vec{p} = (1, 1, -1)$ に平行な直線 $l$ と球面 $S$ の共有点の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 中心 $(-2, 1, 2)$、半径 $3$ の球面 $S$ の方程式を求める。

(2) 点 $A(-3, 0, 6)$ を通り、ベクトル $\vec{p} = (1, 1, -1)$ に平行な直線 $l$ と球面 $S$ の共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 球面 $S$ の方程式は、中心 $(a, b, c)$、半径 $r$ のとき、

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$$

である。中心 $(-2, 1, 2)$、半径 $3$ を代入すると、球面 $S$ の方程式が得られる。

(2) 直線 $l$ は、点 $A(-3, 0, 6)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{p} = (1, 1, -1)$ であるから、媒介変数 $t$ を用いて、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

と表せる。すなわち、$x = -3 + t$, $y = t$, $z = 6 - t$ である。

この直線 $l$ と球面 $S$ の共有点を求めるには、直線 $l$ の式を球面 $S$ の方程式に代入し、$t$ についての二次方程式を得て、それを解けばよい。求まった $t$ の値を直線 $l$ の式に代入すれば、共有点の座標が得られる。

3. 最終的な答え

(1) 球面 $S$ の方程式は、

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9$$

(2) 直線 $l$ の式を球面 $S$ の方程式に代入すると、

$$((-3 + t) + 2)^2 + (t - 1)^2 + ((6 - t) - 2)^2 = 9$$

$$(-1 + t)^2 + (t - 1)^2 + (4 - t)^2 = 9$$

$$(t^2 - 2t + 1) + (t^2 - 2t + 1) + (t^2 - 8t + 16) = 9$$

$$3t^2 - 12t + 18 = 9$$

$$3t^2 - 12t + 9 = 0$$

$$t^2 - 4t + 3 = 0$$

$$(t - 1)(t - 3) = 0$$

よって、$t = 1, 3$。

$t = 1$ のとき、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$$

$t = 3$ のとき、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$$

したがって、共有点の座標は $(-2, 1, 5)$ と $(0, 3, 3)$ である。